【題目】設函數(shù)滿足:①對任意實數(shù)都有;②對任意,都有恒成立;③不恒為0,且當時,.
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并給出你的證明.
(3)定義“若存在非零常數(shù),使得對函數(shù)定義域中的任意一個,均有,則稱為以為周期的周期函數(shù)”.試證明:函數(shù)為周期函數(shù),并求出的值.
【答案】(1),;(2)偶函數(shù);見解析(3)見解析,
【解析】
(1)令,,得,令,得,從而得到,再令,確定出的范圍,從而得到;(2)令,,結(jié)合,可得為偶函數(shù);(3),得周期為,再分別令,,可得,,從而得到,結(jié)合周期性,得到答案.
(1)由于不恒為0,故存在,使,
令,,
則,
所以,
令,,
由,
令,得,
所以得到
又令,
因為當時,,所以,
所以,,故;
(2)定義域為,
令,,
得,
因為
所以,
所以為偶函數(shù);
(3)由
取,得,
又為偶函數(shù),
則,
即是以2為周期的周期函數(shù);
令,得,即
再令,得,即.
而,解得,,,
由得,,,
所以
又由于是以2為周期的周期函數(shù),.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,點、,點是圓上一動點,線段的垂直平分線交線段于點,設點的軌跡為曲線.且直線交曲線于兩點(點在軸的上方).
(1)求曲線的方程;
(2)試判斷直線與曲線的另一交點是否與點關于軸對稱?
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值及取到最小值時自變量x的集合;
(2)指出函數(shù)y=的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過哪些變換得到;
(3)當x∈[0,m]時,函數(shù)y=f(x)的值域為,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知A(0,b),B(a,0),點P是橢圓C上位于第三象限的動點,直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N,求證:|AN||BM|為定值.
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【題目】一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是( )
A. 50 mB. 100 m
C. 120 mD. 150 m
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【題目】《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著,成于公元一世紀左右,系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田(弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)驗公式:弧田面積=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長為的弧田.其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為( )平方米.(其中,)
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
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【題目】在正方體中,有下列結(jié)論:
①平面;
②異面直線AD與所成的角為;
③三棱柱的體積是三棱錐的體積的四倍;
④在四面體中,分別連接三組對棱的中點的線段互相垂直平分.
其中正確的是________(填出所有正確結(jié)論的序號).
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