Question

4．已知{a_n}是一個單調遞增的等差數(shù)列，且滿足$\sqrt{21}$是a₂，a₄的等比中項，a₁+a₅=10．數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等比數(shù)列的中項的性質和等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用數(shù)列的求和方法：“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由$\sqrt{21}$是a₂，a₄的等比中項，可得a₂a₄=21，
得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
∴a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N^*）；
（2）由（1）得${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+5•$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+5•$\frac{1}{16}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
①-②得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ）-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．