Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1．
（1）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，求y=f（sinx）的最大值；
（2）問(wèn)a取何值時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：分類討論,函數(shù)思想,方程思想,換元法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）得出y=f（sinx）的解析式，用換元法，設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，求出f（t）在區(qū)間[0，1]上的最值即可；
（2）把方程f（sinx）=a-sinx轉(zhuǎn)化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解的問(wèn)題，用換元法，求方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，
∴y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)y取得最大值y_max=1；
（2）∵方程f（sinx）=a-sinx，
∴2sin²x-3sinx+1=a-sinx，
即2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解，
設(shè)t=sinx，則
2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下；
①當(dāng)方程在（-1，1）上只有一個(gè)解或相等解時(shí)，
x有兩解（5-a）（1-a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或a=

1

2

；
②當(dāng)t=-1時(shí)，x有唯一解x=

3

2

π，
③當(dāng)t=1時(shí)，x有唯一解x=

π

2

；
綜上，當(dāng)a∈（1，5）或a=

1

2

時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查了換元法的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．