Question

若函數f（x）是R上的減函數，且f（x）的圖象經過A（0，3），B（3，-1），則不等式|f（x+1）-1|＜2 的解集是 （　　）

• A、0＜x≤2
• B、0≤x＜2
• C、-1＜x＜0
• D、-1＜x＜2

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由不等式|f（x+1）-1|＜2，求出f（x+1）的范圍，然后根據f（x）的圖象經過點A（0，3）和點B（3，-1），得到f（0）=3和f（3）=-1的值，求出的f（x+1）的范圍中的3和-1分別用f（0）、f（3）代換后，得到函數值的大小關系，根據函數f（x）在R上單調遞減，得到其對應的自變量x的范圍，即為原不等式的解集．

解答： 解：由不等式|f（x+1）-1|＜2，
得到：-2＜f（x+1）-1＜2，即-1＜f（x+1）＜3，
又∵f（x）的圖象經過點A（0，3）和點B（3，-1），
∴f（0）=3，f（3）=-1，
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0），
又∵f（x）在R上為減函數，
∴3＞x+1＞0，即-1＜x＜2，
故選D．

點評：此題考查了絕對值不等式的解法，以及函數單調性的性質．把不等式解集中的3和-1分別換為f（0）和f（3）是解本題的突破點，同時要求學生熟練掌握函數單調性的性質．