Question

若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x_o（a＜x_o＜b），滿足f（x_o）=

f(b)-F(a)

b-a

，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x_o是它的一個均值點．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，O就是它的均值點．
（1）若函數(shù)，f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．
（2）若f（x）=㏑x是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x_o是它的一個均值點，則㏑x_o與

1

ab

的大小關系是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-mx-1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，故有x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內(nèi)，即可求出實數(shù)m的取值范圍．
（2）（2）猜想判斷，換元轉(zhuǎn)化為h（t）=2lnt-t+

1

t

，利用導數(shù)證明，求解出最值得出）=2lnt-t+

1

t

＜h（1）=0，

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²-mx-1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，
∴關于x的方程x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根．
即x²-mx-1=-m在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根．
即x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點，
即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求實數(shù)m的取值范圍是（0，2）．
故答案為：（0，2）
（2）解：由題知lnx₀=

lnb-lna

b-a

．
猜想：lnx0＜

1

ab

，
證明如下：

lnb-lna

b-a

＜

1

ab

，
令t=

b a

＞1，原式等價于lnt²＜t-

1

t

，
2lnt-t+

1

t

＜0，
令h（t）=2lnt-t++

1

t

（t＞1），
則h′（t）=

2

t

-1-

1

t2

=-

(t-1)2

t

＜0，
∴h（t）=2lnt-t+

1

t

＜h（1）=0，
得證lnx0＜

1

ab

點評：本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關于新定義的題目時，一定要先認真的研究定義理解定義，再按定義做題．