Question

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x₁、x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（1）證明函數(shù)f1(x)=x2是定義域上的C函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f2(x)=

1

x

(x＜0)是否為定義域上的C函數(shù)，請說明理由；
（3）若f（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且最小正周期為T，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂及α∈（0，1），證得f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），結(jié)合C函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（2）取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，由此時(shí)f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂），可得：f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)；                            
（3）假設(shè)f（x）是R上的C函數(shù)，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．可得f（x）在R上是常數(shù)函數(shù)，這與f（x）的最小正周期為T矛盾，進(jìn)而得到f（x）不是R上的C函數(shù)．

解答： 證明：（1）對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=(αx1+(1-α)x2)2-αx12-(1-α)x22
=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x2)2≤0，
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），
∴f1(x)=x2是C函數(shù)； 
（2）f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)，
說明如下（舉反例）：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
則f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0，
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂），
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)；
（3）假設(shè)f（x）是R上的C函數(shù)，
若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．
（i）若f（m）＜f（n），
記x₁=m，x₂=m+T，α=1-

n-m

T

，則0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂，
那么f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=αf（m）+（1-α）f（m+T）=f（m），
這與f（m）＜f（n）矛盾；                                               
（ii）若f（m）＞f（n），
記x₁=n，x₂=n-T，α=1-

n-m

T

，同理也可得到矛盾；                
∴f（x）在[0，T）上是常數(shù)函數(shù)，
又因?yàn)閒（x）是周期為T的函數(shù)，
所以f（x）在R上是常數(shù)函數(shù)，這與f（x）的最小正周期為T矛盾．
所以f（x）不是R上的C函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的概念與最值及數(shù)列的求和，難點(diǎn)在于對C函數(shù)的理解，屬于難題．