Question

直線l₁：mx-y=1=0，l₂：x+my-1=0的交點(diǎn)為P（x₀，y₀），當(dāng)實(shí)數(shù)m在區(qū)間[-1，1]內(nèi)變化時(shí)，l₁、l₂分別過定點(diǎn)A、B．（1）用m表示△ABP的面積S；
（2）求S最大時(shí)的實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),三角形的面積公式

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得直線l₁恒過A（0，-1），l₂恒過B（1，0），再求直線AB的方程，求得AB的長(zhǎng)，及點(diǎn)P到直線AB的距離，運(yùn)用面積公式，求得△ABP的面積，注意m的范圍，化簡(jiǎn)即可得到；
（2）由m的范圍，得到m²的范圍，即可得到S的最大值和m的值．

解答： 解：（1）直線l₁：mx-y=1=0，l₂：x+my-1=0
的交點(diǎn)為P（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程，解得，P（

1+m

1+m2

，

m-1

m2+1

）．
直線l₁恒過A（0，-1），l₂恒過B（1，0），
直線AB：y=x-1，P到直線AB的距離為d=

| 2 1+m2 -1|

2

，
由于-1≤m≤1，即0≤m²≤1，
則d=

2 1+m2 -1

2

．
則有S=

1

2

|AB|d=

2

2

•

2 1+m2 -1

2

=

1

2

（

2

1+m2

-1）（-1≤m≤1）；
（2）由于-1≤m≤1，即0≤m²≤1，
則當(dāng)m²=0即m=0，S取得最大，且為

1

2

×（2-1）=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過解方程求直線的交點(diǎn)，考查點(diǎn)到直線的距離及兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．