Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*，λ∈R），且a₁=2．
（1）若λ=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若λ=2，證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=1時，${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，由此利用累加法能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）當(dāng)λ=2時，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，再由$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，能證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，從而a_n=（$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$）•2ⁿ=（n+1）•2^n-1，由此利用錯位相減法能出數(shù)列{a_n}的前n項和．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時，a_n+1=a_n+2ⁿ（n∈N^*），且a₁=2．
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+2+2²+…+2^n-1
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$
=2ⁿ．
證明：（2）當(dāng)λ=2時，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n∈N^*），且a₁=2．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，
∴a_n=（$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$）•2ⁿ=（n+1）•2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和：
S_n=2•2⁰+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1，①
2S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，②
②-①，得：
S_n=（n+1）•2ⁿ-2-（2+2²+2³+…+2^n-1）
=（n+1）•2ⁿ-2-$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$
=（n+1）•2ⁿ-2-2ⁿ+2
=n•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和公式的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題，解題時要注意累加法的合理運用．