Question

13．中南大學(xué)有南北兩個(gè)校區(qū)，教授們授課有時(shí)需開車往返兩個(gè)校區(qū)，設(shè)兩校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T，一般情況下T只與道路暢通狀況有關(guān)，通過隨機(jī)抽取100次教授們開車單程所需時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

T（分鐘）	25	30	35	40
頻數(shù)（次）	20	30	40	10

（Ⅰ）若以樣本估計(jì)總體，視頻率為相應(yīng)概率，求隨機(jī)變量T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；
（Ⅱ）若劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布，從而得到以頻率估計(jì)概率得T的分布列，由此能求出隨機(jī)變量T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET．
（Ⅱ）設(shè)T₁，T₂分別表示往、返所需時(shí)間，T₁，T₂的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同．設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”．由此能求出劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率．

解答 解：（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為

T（分鐘）	25	30	35	40
頻率	0.2	0.3	0.4	0.1

以頻率估計(jì)概率得T的分布列為

T	25	30	35	40
P	0.2	0.3	0.4	0.1

從而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分鐘）…（6分）
（Ⅱ）設(shè)T₁，T₂分別表示往、返所需時(shí)間，T₁，T₂的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同．
設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，
由于講座時(shí)間為50分鐘，
所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”．
故劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率：
P（A）=P（T₁+T₂≤70）
=P（T₁=25，T₂≤45）+P（T₁=30，T₂≤40）+P（T₁=35，T₂≤35）+P（T₁=40，T₂≤30）
=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．