Question

6．如圖，半徑為2的⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)P，PE為⊙O的切線，E為切點(diǎn)，$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{BD}$，若PB=2，PD=$\frac{5}{2}$，∠PEB=30°．
（1）求∠PCB的度數(shù)；
（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AE，利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合圓周角定理求∠PCB的度數(shù)；
（2）由割線定理求出PC，即可求CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接AE，
∵PE為⊙O的切線，E為切點(diǎn)，
∴∠PAE=∠PEB=30°，
∵$\widehat{BE}$=2$\widehat{BD}$，
∴$∠PCB=\frac{1}{2}∠PAE$=15°；
（2）由割線定理得PB•PA=PD•PC，
∴2×（2+2×2）=$\frac{5}{2}$PC，
∴PC=$\frac{24}{5}$，
∴CD=PC-PD=$\frac{23}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、割線定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．