Question

設(shè)函數(shù)，，已知x=a，x=b為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)（0＜a＜b）
（1）求函數(shù)g（x）在（-∞，-a）上的單調(diào)區(qū)間，并說明理由．
（2）若曲線g（x）在x=1處的切線斜率為-4，且方程g（x）-m=0有兩個不相等的負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求出；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出t，進(jìn)而得出得出單調(diào)區(qū)間并由此畫出圖象即可求出．
解答：解：（1）∵=，又x=a，x=b為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴a，b是方程x²-tx+3=0的兩根，∴a+b=t，ab=3．
又=-=-．
∵0＜a＜b，ab=3，∴0＜a＜＜b，∴．
當(dāng)和時，g^′（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-b）時，g^′（x）＜0．
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減為（-∞，-b）．
（2）由g^′（1）==-4，解得t=4．
∴g（x）=，．
令g^′（x）=0，解得x=-3或-1．
當(dāng)x∈（-∞，0]時，列表如圖：
由表格可知：當(dāng)x=-3時，g（x）取得極小值；當(dāng)x=-1時，g（x）取得極大值-1．
由圖象可知：
當(dāng)或時，方程g（x）-m=0有兩個不相等的負(fù)實(shí)根．
點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和圖象是解題的關(guān)鍵．