Question

設數(shù)列[a_n]的前N項和為S_n，點（a_n，S_n）在直線y=x-1上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在a_n與a _n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的前n項和T_n，并求使T_n+成立的正整數(shù)n最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵由題設知，
S_n=a_n-1，①∴a₁=S₁=a₁-1，解得a₁=2
n≥2時，S_n-1=a_n-1-1，②
①-②可得：a_n=a_n-a_n-1，
∴a_n=3a_n-1（n≥2），即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∴a_n=2•3^n-1，
（Ⅱ）由（I）得，a_n+1=2•3ⁿ，a_n=2•3^n-1，
∵a_n+1=a_n+（n-1）d_n，∴d_n=，，
令T_n=++++…+，
∴T_n=+++…+，
∴T_n=+（++…+）-，
=+×-=-，
∴T_n=-．
∴
即，
3ⁿ≥81，
得n≥4．
∴使T_n+成立的正整數(shù)n最小值是4．
分析：（Ⅰ）先利用點（a_n，S_n）在直線y=x-1上得S_n=a_n-1，再寫一式，兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）先把所求結論代入求出數(shù)列{T_n}的通項，再利用數(shù)列求和的錯位相減法即可求出其各項的和，最后利用不等關系求解即可．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列求和的錯位相減法，考查計算能力，屬于中檔題．