【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD= ,AB=BC=1,CD=2,PA⊥平面ABCD,E是PD的中點(diǎn).

(1)求證:AE∥平面PBC;
(2)若直線AE與直線BC所成角等于 ,求二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:取PC中點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF,

∴△PCD中,EF ,AB ,

∴EF AB,

∴四邊形ABFE為平行四邊形,

∵AE∥BF,AE平面PBC,BF平面PBC,

∴AE∥平面PBC.


(2)解:AE與直線BC所成角為 , ,

∴BP= ,∴PA=

延長BA一倍到H,連結(jié)DH,再作HG⊥BP,連結(jié)DG,

則∠DGH是二面角D﹣PB﹣A的平面角,

DH=1,F(xiàn)G× ,HG= ,

∴tan∠DGH= ,

∴cos∠DGH=

∴二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值為


【解析】(1)取PC中點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF,推導(dǎo)出四邊形ABFE為平行四邊形,從而AE∥BF,由此能證明AE∥平面PBC.(2)AE與直線BC所成角為 ,延長BA一倍到H,連結(jié)DH,再作HG⊥BP,連結(jié)DG,∠DGH是二面角D﹣PB﹣A的平面角,由此能求出二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓的方程;

(2)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,試問在x軸上是否存在點(diǎn),使是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:

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【題目】已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn).
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(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.

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【題目】已知圓C:(x﹣1)2+y2=r2(r>0)與直線l:y=x+3,且直線l有唯一的一個(gè)點(diǎn)P,使得過P點(diǎn)作圓C的兩條切線互相垂直,則r=;設(shè)EF是直線l上的一條線段,若對于圓C上的任意一點(diǎn)Q,∠EQF≥ ,則|EF|的最小值=

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1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)內(nèi)存在三個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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B.(0,3]
C.[0,3]
D.(0,3)

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