Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a²-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²+

8

3

，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點(diǎn)，所以有

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	?減	極小值	增

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
∵f（0）=

8

3

，f（2）=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．