【題目】已知,.

1)令,求證:有唯一的極值點(diǎn);

2)若點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn),求、兩點(diǎn)之間距離的最小值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理,說(shuō)明函數(shù)在定義域上有唯一零點(diǎn),再分析函數(shù)在該零點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào),可得證函數(shù)有唯一極值點(diǎn);

2)根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線,將直線平移后與分別與曲線、切于、,由此可得出的最小值.

1)由題意知,所以,

單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,

所以存在唯一的,使得,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;

因此,函數(shù)有唯一的極值點(diǎn);

2)由于互為反函數(shù),兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,

如下圖,

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切,

,,可得點(diǎn).

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切,,

,,可得點(diǎn)

因此,兩點(diǎn)間距離的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組:[100,110),[110120),[120,130),[130,140)[140,150]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.

1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;

2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為數(shù)學(xué)尖子生,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)?

附:

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在中老年人群體中,腸胃病是一種高發(fā)性疾病某醫(yī)學(xué)小組為了解腸胃病與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系,調(diào)查了50位中老年人每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)(單位:小時(shí)),將數(shù)據(jù)分成[04),[4,8),[8,14),[14,16),[1620),[20,24]6組進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制出如圖所示的柱形圖.

圖中縱軸的數(shù)字表示對(duì)應(yīng)區(qū)間的人數(shù)現(xiàn)規(guī)定:每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較少.

每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)不少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較多.

1)根據(jù)題意,完成下面的2×2列聯(lián)表:

有腸胃病

無(wú)腸胃病

總計(jì)

運(yùn)動(dòng)較多

運(yùn)動(dòng)較少

總計(jì)

2)能否有99.9%的把握認(rèn)為中老年人是否有腸胃病與運(yùn)動(dòng)有關(guān)?

附:K2na+b+c+d

PK2k

0.0.50

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率,過點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為.

1)求橢圓方程;

2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),試求面積的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某家電公司銷售部門共有200位銷售員,每位部門對(duì)每位銷售員都有1400萬(wàn)元的年度銷售任務(wù),已知這200位銷售員去年完成銷售額都在區(qū)間(單位:百萬(wàn)元)內(nèi),現(xiàn)將其分成5組,第1組,第2組,第3組,第4組,第5組對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為 , , ,繪制出頻率分布直方圖.

(1)求的值,并計(jì)算完成年度任務(wù)的人數(shù);

(2)用分層抽樣從這200位銷售員中抽取容量為25的樣本,求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù);

(3)現(xiàn)從(2)中完成年度任務(wù)的銷售員中隨機(jī)選取2位,獎(jiǎng)勵(lì)海南三亞三日游,求獲得此獎(jiǎng)勵(lì)的2位銷售員在同一組的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡(jiǎn),得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2020年開始,國(guó)家逐步推行全新的高考制度,新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(63),每科目滿分100.為了應(yīng)對(duì)新高考,某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

1)已知抽取的名學(xué)生中含男生55人,求的值;

2)為了了解學(xué)生對(duì)自選科目中“物理”和“地理”兩個(gè)科目的選課意向,對(duì)在(1)條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由;

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

10

女生

25

總計(jì)

3)在抽取到的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)這3人中女生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在四面體中,若,則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)其外接球表面積為( )

A. B. C. D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案