Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=10，S₆=72
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）若b_n=

1

2

a_n-30，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知{a_n}是等差數(shù)列，從而

a1+2d=10 6a1+15d=72

，由此能求出a_n=4n-2．
（2）由b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，得{b_n}前15項(xiàng)為負(fù)值，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）∵2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），∴{a_n}是等差數(shù)列．
設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a₃=10，S₆=72，
得

a1+2d=10 6a1+15d=72

，∴

a1=2 d=4

，…（4分）
∴a_n=4n-2．…（6分）
（2）b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，…（7分）
解得

2n-31≤0 2(n+1)-31≥0

，得

29

2

≤n≤

31

2

，
∵n∈N^*，∴n=15，…（9分）
∴{b_n}前15項(xiàng)為負(fù)值，∴S₁₅最小，
∵b₁=-29，d=2，
∴S₁₅=

15×(-29+2×15-31)

2

=-225．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．