Question

將12cm長的細(xì)鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，
（1）求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；
（2）若這三條線段分別圍成三個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得a+b+c=12，再根據(jù)V=abc≤(

a+b+c

3

)3=64，可得V的最大值．
（2）設(shè)3個正三角形的邊長為 l，m，n，則 l+m+n=4，由柯西不等式求得l²+m²+n²≥

16

3

，從而得到這三個正三角形面積和S=

3

4

（l²+m²+n²） 的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得a+b+c=12，V=abc≤(

a+b+c

3

)3=64，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=4時，等號成立．
（2）設(shè)3個正三角形的邊長為 l，m，n，則 l+m+n=4，
由柯西不等式（l²+m²+n²）（1+1+1）≥（l+m+n）²=16，即l²+m²+n²≥

16

3

．
∴這三個正三角形面積和S=

3

4

（l²+m²+n²）≥

3

4

•

16

3

=

4 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)l=m=n=

4

3

時，等號成立．
∴這三個正三角形面積和的最小值為

4 3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式、柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．