Question

1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（1）求sin∠C的值；
（2）若BD=5，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠ADB，由$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$．利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求值得解．
（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?cos∠ADB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
所以$sin∠ADB=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．
又因?yàn)?∠CAD=\frac{π}{4}$，
所以$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$．
所以$sin∠C=sin（∠ADB-\frac{π}{4}）=sin∠ADB•cos\frac{π}{4}-cos∠ADB•sin\frac{π}{4}$
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$． …（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，得$AD=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADC}=\frac{{\frac{7}{2}•\frac{4}{5}}}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}=2\sqrt{2}$．
所以${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•5•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=7$．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理，三角形面積公式等知識的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．