已知定點M（0，1），N（1，-1），Q（1，0），動點P滿足2
MP
•
NP
=|
PQ
|2+1．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)動點P的軌跡與x軸的負半軸的交點為A，過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交動點P的軌跡于B，C兩點，且k1k2=-2，試證明直線BC恒過一個定點，并求出該定點坐標．
考點：直線和圓的方程的應(yīng)用
專題：綜合題,直線與圓
分析：（1）根據(jù)定點M（0，1），N（1，-1），Q（1，0），動點P滿足2
MP
•
NP
=|
PQ
|+1，建立方程，化簡求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AB：y=k1（x+2），代入圓的方程，得（1+k12）x2+4k12x+（4k12-4）=0，求出B，C的坐標，可得直線BC的方程，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵定點M（0，1），N（1，-1），Q（1，0），動點P滿足2
MP
•
NP
=|
PQ
|+1，
∴2（x，y-1）•（x-1，y+1）=
(x-1)2+y2
+1
化簡可得x2+y2=4；
（2）由題意知，A（-2，0），設(shè)直線AB：y=k1（x+2），
代入圓的方程，得（1+k12）x2+4k12x+（4k12-4）=0，
所以xAxB=
4k12-4
1+k12
，
所以xB=
2-2k12
1+k12
，yB=
4k1
1+k12
，即B（
2-2k12
1+k12
，
4k1
1+k12
）
因為k1k2=-2，所以得C（
2k12-8
4+k12
，
-8k1
4+k12
），
所以直線BC為y-
-8k1
4+k12
=
3k1
2-k12
（x-
2k12-8
4+k12
），得y=0時，x=-
2
3
，
所以直線BC恒過定點（-
2
3
，0）．
點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|-2＜x＜4}，B={x|x+a-1＞0}，若A∪B={x|x＞-2}，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若-1≤-logx10＜-
1
2
，x＞1且x∈N，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標原點，M（x1，y1），N（x2，y2）是橢圓
x2
4
+
y2
2
=1上的點，且x1x2+2y1y2=0，設(shè)動點P滿足
OP
=
OM
+2
ON

（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點，求三角形OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四邊形ACBE，AB交CE于D點，BC=
15
，DE=2，DC=3，EC平分∠AEB．
（1）求證：△CDB∽△CBE；
（2）求證：A、E、B、C四點共圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

矩形PQRS的兩條對角線相交于點M（1，0），PQ邊所在的直線方程為x-y-2=0，原點O（0，0）在PS邊所在直線上，
（1）矩形PQRS外接圓的方程；
（2）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若（1）的圓是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2
x-1
．
（1）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當x∈[2，6]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|；
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若對任意實數(shù)x，不等式|x+1|+|x-2|＞ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的極坐標方程是ρ2+2ρ（cosθ+
3
sinθ）-5=0，直線l的參數(shù)方程
x=1+
3
2
t
y=-
3
+
1
2
t
，t為參數(shù)．
（1）求直線m：θ=
π
3
（ρ∈R）被圓截得的弦長．
（2）已知P（1，-
3
），若圓C與直線l交于兩點A，B求|PA|•|PB|的值．

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