Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上的點(diǎn)，且x₁x₂+2y₁y₂=0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+2

ON

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），由點(diǎn)差法得kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）將曲線C與直線l聯(lián)立：

x2+2y2=20 y=x+m

，得：3x²+4mx+2m²-20=0，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出三角形OAB面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，
所以 x12+2y12=4，x22+2y22=4，
故x2+2y2=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
設(shè)k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，
由題意知，kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+2y²=20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P點(diǎn)是橢圓

x2

(2 5 )2

+

y2

( 10 )2

=1上的點(diǎn)，
設(shè)該橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，則由橢圓的定義，|PF₁|+|PF₂|為定值，
又因?yàn)?span id="2c1bms9" class="MathJye">c=

(2 5 )2+( 10 )2

=

10

，
因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)．
將曲線C與直線l聯(lián)立：

x2+2y2=20 y=x+m

，消y得：3x²+4mx+2m²-20=0，
∵直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
∴△=16m²-4×3×（2m²-20）＞0，x3+x4=-

4m

3

，x3x4=

2m2-20

3

，
又∵m≠0，得0＜m²＜30，
∵點(diǎn)O到直線AB：x-y+m=0的距離d=

|m|

2

，
∴|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|=

2×( 16m2 9 -4× 2m2-20 3 )

=

16 9 (30-m2)

，
∴S△ABC=

1

2

×

16 9 (30-m2)

×

|m|

2

=

2

3

×

m2×(30-m2)

≤

2

3

×

m2+(30-m2)

2

=5

2

．
∴三角形OAB面積的最大值為5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．