Question

過拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，已知點(diǎn)A（4，4），則直線AC的方程為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程，再求出直線AB的方程，進(jìn)而得到B點(diǎn)的 縱坐標(biāo)進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)直線AC的方程為y=Ax+B，把點(diǎn)C和A的坐標(biāo)代入求出A，B的值，得到答案．

解答：解：y²=4x，∴p=2，∴準(zhǔn)線l的方程為x=-1
設(shè)直線AB方程為y=kx+b，把點(diǎn)A和焦點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

k+b=0 4x+b=4

解得k=

4

3

，b=-

4

3

∴直線AB的方程為y=

4

3

x-

4

3

，代入拋物線方程得y²-3y-4=0，解得y=4或-1
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-1）
設(shè)直線AC的方程為y=Ax+B，把點(diǎn)C和A的坐標(biāo)代入得，

4A+B=4 -A+B=-1

解得A=1，B=0
∴直線AC的方程為y=x
故答案為y=x

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的性質(zhì)和拋物線與直線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要給予充分重視．