Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l過橢圓的左頂點(diǎn)A，且與橢圓相交于另一點(diǎn)B．
（i）若$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直線l的傾斜角；
（ii）若點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，求y₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c²=a²-b²求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)$\frac{1}{2}$×2a×2b=4求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）（i）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．
（ii）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）可表示M的坐標(biāo)，看當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$求得y₀；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y(tǒng)₀的表達(dá)式根據(jù)$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$求得y₀；綜合答案可得．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b，
由題意可知$\frac{1}{2}×2a×2b=4$，即ab=2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ ab=2\end{array}\right.$，
得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k．
則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1.\end{array}\right.$消去y并整理，
得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．從而${y_1}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$．
所以$|AB|=\sqrt{{{（{-2-\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．
由$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，得$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$．整理得32k⁴-9k²-23=0，
即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．…（7分）
（ii）解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）得到M的坐標(biāo)為$（{-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{2k}{{1+4{k^2}}}}）$．
以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，
于是$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{2，-{y_0}}）$．
由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，得${y_0}=±2\sqrt{2}$；    …（9分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為$y-\frac{2k}{{1+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）$，
令x=0，解得${y_0}=-\frac{6k}{{1+4{k^2}}}$，
由$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-{y_0}}）$，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-2{x_1}-{y_0}（{{y_1}-{y_0}}）=\frac{{-2（{2-8{k^2}}）}}{{1+4{k^2}}}+\frac{6k}{{1+4{k^2}}}（{\frac{4k}{{1+4{k^2}}}+\frac{6k}{{1+4{k^2}}}}）$=$\frac{{4（{16{k^4}+15{k^2}-1}）}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}=4$，
整理得7k²=2．
故$k=±\frac{{\sqrt{14}}}{7}$．
所以${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．
綜上，${y_0}=±2\sqrt{2}$或 ${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．…（12分）．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力．