Question

4．若四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|．求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$知四邊形為平行四邊形，由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|可知AB⊥BC，推出結(jié)論．

解答 證明：∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，∴AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$|，∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，∴AB⊥BC．
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線與垂直的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．