12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)且傾角為60°的直線與圓x2+y2=a2相交，所得弦的長(zhǎng)度為$\sqrt{7}$，求橢圓C的方程．

分析 運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
橢圓C的左焦點(diǎn)（-c，0）且傾斜角為60°的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
圓心到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圓的弦長(zhǎng)公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和圓的弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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2．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且AP=1．設(shè)∠PAB=θ，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則2λ+$\sqrt{3}$μ取得最大值時(shí)，角θ的值為$\frac{π}{3}$．

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3．已知M（0，-$\sqrt{3}$），N（0，$\sqrt{3}$），平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=4，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+1與軌跡E交于A、B兩點(diǎn)，若在y軸上存在一點(diǎn)Q，使y軸為∠AQB的角平分線，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）是否存在不過(guò)T（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l2與軌跡E及圓T：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且$\overrightarrow{TD}$-$\overrightarrow{TC}$=$\overrightarrow{TG}$-$\overrightarrow{TF}$？若存在，求l2的斜率的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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20．已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面3米時(shí)，量得水面寬6米，當(dāng)水面升高1米后，水面寬度是2$\sqrt{6}$米．

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7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2，上頂點(diǎn)為A，AF2的中垂線交橢圓于點(diǎn)B，若左焦點(diǎn)F1在線段AB上，則橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

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17．函數(shù)f（x）=x3+4x+5在x=1處的切線方程為7x-y+3=0．

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4．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓的左焦點(diǎn)F1將長(zhǎng)軸分成的兩條線段的比為1：2，焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線的傾斜角為45°，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．求：
（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與圓的相交弦長(zhǎng)|AB|．

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1．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}$-λ1$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{MB}$-λ2$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，求證：$\frac{1}{2}$（λ1+λ2）為定值．

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2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．

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