Question

4．已知橢圓的焦點在x軸上，且橢圓的左焦點F₁將長軸分成的兩條線段的比為1：2，焦距為2，過右焦點F₂的直線的傾斜角為45°，交橢圓于A，B兩點．求：
（1）橢圓的標準方程；
（2）直線與圓的相交弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，且$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$，求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由已知得到AB所在直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用弦長公式求得|AB|．

解答 解：（1）如圖，
由題意可知，2c=2，c=1．
$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{2}$，∴a=3c．
則a=3，∴b²=a²-c²=8．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）AB所在直線的斜率k=tan45°=1，
直線方程為y-0=1×（x-1），即y=x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得17x²-18x-63=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{17}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{63}{17}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{18}{17}）^{2}-4×（-\frac{63}{17}）}$=$\sqrt{2}•\frac{48\sqrt{2}}{17}=\frac{96}{17}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查弦長公式的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．