Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，前n項和為S_n．
（1）求證：點P₁（1，S₁），P₂（2，

1

2

S2），P₃（3，

1

3

S3），…，P_n（n，

1

n

Sn）在同一條直線l₁上．
（2）過點Q₁（1，a₁），Q₂（2，a₂）作直線l₂，設l₁與l₂的夾角為θ，求證tanθ≤

2

4

．

Answer 1

分析：（1）可得Sn=

d

2

n2+(1-

d

2

)n，變形可得

Sn

n

=

d

2

n+(1-

d

2

)，設直線l₁為：y=

d

2

x+(1-

d

2

)．易知點的坐標適合方程；（2）由（1）可知kl1=

d

2

，kl2=

a2-a1

2-1

=d，由夾角公式和基本不等式可得．

解答：解：（1）由等差數(shù)列的求和公式可得：Sn=

d

2

n2+(1-

d

2

)n，
變形可得

Sn

n

=

d

2

n+(1-

d

2

)，
設直線l₁為：y=

d

2

x+(1-

d

2

)．
易知點P₁（1，S₁），P₂（2，

1

2

S2），P₃（3，

1

3

S3），…，P_n（n，

1

n

Sn）
的坐標適合上面的方程，即在同一條直線l₁上．
（2）由（1）可知kl1=

d

2

，由題意可知kl2=

a2-a1

2-1

=d，
∴tanθ=|

kl2-kl1

1+kl2•kl1

|=|

d- d 2

1+d• d 2

|=|

d

2+d2

|
=

1

2 |d| +|d|

≤

1

2 2 |d| •|d|

=

2

4

，
當且僅當

2

|d|

=|d|，即d=±

2

時，上式取“=”

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及兩直線的夾角問題和基本不等式的應用，屬中檔題．