Question

15．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，則2a₆+a₅的最小值是（　　）

• A． 64
• B． 32
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，由2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，可得（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．則2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），通過對(duì)q分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，
∵2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，
∴（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．
則2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=$\frac{8{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=8（q²+1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），
q＞1時(shí)，f（q）≥$8×2\sqrt{（{q}^{2}-1）×\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+16=32，當(dāng)且僅當(dāng)$q=\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
0＜q＜1時(shí)，f（q）=-$8[（1-{q}^{2}）+\frac{1}{1-{q}^{2}}]$+16≤0，舍去．
綜上可得：2a₆+a₅的最小值是32．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．