【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在時恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，求證：函數(shù)的極大值小于1.

【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和，即可得出結(jié)果；

（2）先將函數(shù)在時恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最大值，即可得出結(jié)果；

（3）先由題意得到，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出其極大值，得出結(jié)論.

解：（1）由于，，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，由得，由得；

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）若在上恒成立，

只需，.

令，，則，

由得，所以

，隨的變化情況如下：

1

+

0

-

極大值

所以，所以.

（3）由題知，，

令，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，

所以存在唯一的，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

其中，所以函數(shù)有極大值.

函數(shù)的極大值是，由，得，

所以，因?yàn)?/span>，所以，即，

所以的極大值小于1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校位同學(xué)的數(shù)學(xué)與英語成績?nèi)缦卤硭荆?/span>

學(xué)號

數(shù)學(xué)成績

英語成績

學(xué)號

數(shù)學(xué)成績

英語成績

將這位同學(xué)的兩科成績繪制成散點(diǎn)圖如下：

（1）根據(jù)該校以往的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)成績與英語成績線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?/span>，英語平均成績?yōu)?/span>.考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號為的同學(xué)與學(xué)號為的同學(xué)（分別對應(yīng)散點(diǎn)圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學(xué)的兩科成績?nèi)∠�，取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后，求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與英語成績的平均數(shù)；

（2）取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后，求數(shù)學(xué)成績與英語成績的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)本次英語考試學(xué)號為的同學(xué)如果沒有作弊的英語成績（結(jié)果保留整數(shù)）.

附：位同學(xué)的兩科成績的參考數(shù)據(jù)：，.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線是其圖象的一條對稱軸．

（1）求，的值；

（2）在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；

（3）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象，求單調(diào)減區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1） 試說明函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；

（2）若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；

（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知復(fù)數(shù)z＝，（m∈R，i是虛數(shù)單位）．

（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；

（2）設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)＋2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，D是AC的中點(diǎn)，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn)，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，點(diǎn)E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn)．

（1）證明：EP∥平面SBD；

（2）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）在第（2）問的條件下，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面幾種推理是演繹推理的個數(shù)是（ ）

①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,那么∠A+∠B=180°；

②猜想數(shù)列1，3，5，7，9，11，…的通項(xiàng)公式為；

③由正三角形的性質(zhì)得出正四面體的性質(zhì)；

④半徑為的圓的面積，則單位圓的面積．

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

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