Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x2+1

，令g（x）=f（

1

x

）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求證：f（x）+g（x）=1（x≠0）；
（3）如圖，已知f（x）在區(qū)間[0，+∞）的圖象，請據(jù)此在該坐標(biāo)系中補全函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的圖象，并在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象．請說明你的作圖依據(jù)．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域為R，求出x²+1的范圍，取倒數(shù)即可得到答案；
（2）由f（x）的解析式求出g（x），作和后整理即可證得答案；
（3）利用偶函數(shù)圖象的對稱性畫圖．

解答：（1）解：f（x）=

1

x2+1

，由x²+1≥1，得0＜

1

x2+1

≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域為（0，1]；
（2）證明：由f（x）=

1

x2+1

，則g（x）=f（

1

x

）=

1

( 1 x )2+1

=

x2

1+x2

．
∴f（x）+g（x）=

1

x2+1

+

x2

1+x2

=1；
（3）解：∵函數(shù)f（x）=

1

x2+1

為偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對稱，圖象如圖，

點評：本題考查了函數(shù)值的求法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形，是基礎(chǔ)題．