Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，側(cè)棱PA與底面成45°的角，M，N，分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．
（3）直線PC與面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行，根據(jù)三角形的中位線可知PC∥EO，滿足定理?xiàng)l件；
（2）根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PD，即可求出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，則可得AC⊥面PBD，故∠CPO為直線PC與面PBD所成角，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連NE，AE

根據(jù)三角形的中位線可知NE∥CD，且NE=

1

2

CD，
∵AM∥CD，且AM=

1

2

CD，
∴NE∥AM，且NE=AM，∴MN∥AE，
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，側(cè)棱PA與底面成45°的角所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：

1

3

；
（3）解：連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接PO，則AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PBD
∴∠CPO為直線PC與面PBD所成角
∵PC=

2

，CO=

2

2

∴PO=

2

2

∴直線PC與面PBD所成角的余弦值為

1

2

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．