已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求證:
(1)當(dāng)b≠時(shí),tg3A=
ab

(2)(1+2cos2A)2=a2+b2
分析:(1)通過和差化積公式分別對(duì)sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A進(jìn)行化簡(jiǎn),最后兩式相除即可證明.
(2)通過和差化積公式分別對(duì)sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A進(jìn)行化簡(jiǎn),兩式分別平方后相加化簡(jiǎn)后即可證明結(jié)論.
解答:證明:(1)sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A
=2sin
A+5A
2
cos
5A-A
2
+sin3A
=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A(1+2cos2A),
∴sin3A(1+2cos2A)=a ①
同理有cos3A(1+2cos2A)=b ②
兩式相除,即得tan3A=
a
b

(2)∵根據(jù)(1)sin3A(1+2cos2A)=a,①
cos3A(1+2cos2A)=b,②
∴①2+②2
sin23A(1+2cos2A)2+cos23A(1+2cos2A)2=a2+b2,
∴(1+2cos2A)2(sin23A+cos23A)=a2+b2,
∴(1+2cos2A)2=a2+b2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)恒等式的證明.證明此類題常涉及兩角和公式、倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系等.公式多、難度大故應(yīng)在這方面多下功夫.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知tan
C
2
=sin(A+B),給出以下四個(gè)論斷:
①tanA×cotB=1②1<sinA+sinB≤
2

③sin2A+cos2B=1    ④sin2A+sin2B+sin2C=2
其中一定正確的是
 
(填上所有正確論斷的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA=sin(A-B)+sinC.
(1)求角B的大。
(2)若b2=ac,判斷△ABC的形狀;
(3)求證:
b•sin(C-
π
6
)
(2c-a)•cosB
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年高考試題(浙江卷)解析版(文) 題型:解答題

 [番茄花園1] (本題滿分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積,滿足。

(Ⅰ)求角C的大;

(Ⅱ)求的最大值。

 (Ⅰ)解:由題意可知

absinC=,2abcosC.

所以tanC=.

因?yàn)?<C<

所以C=.

(Ⅱ)解:由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)

                        =sinA+cosA+sinA=sin(A+)≤.

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào),

所以sinA+sinB的最大值是.

 

 


 [番茄花園1]1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA=sin(A-B)+sinC.
(1)求角B的大。
(2)若b2=ac,判斷△ABC的形狀;
(3)求證:
b•sin(C-
π
6
)
(2c-a)•cosB
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山東省高一第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知sina=,aÎ(,p),cosb=-,b是第三象限的角.

⑴ 求cos(a-b)的值;

⑵ 求sin(a+b)的值;

⑶ 求tan2a的值.

【解析】第一問中∵ aÎ(,p),∴ cosa=-=-,  ∵ b是第三象限的角,

∴ sinb=-=-,     

cos(a-b)=cosa·cosb+sina·sinb =(-)×(-)+×(-)=- 

⑵ 中sin(a+b)=sina·cosb+cosa·sinb       =×(-)+(-)×(-)= ⑶ 利用二倍角的正切公式得到!遲ana==- ∴tan2a= ==- 

解∵ aÎ(,p),∴ cosa=-=-,         …………1分

∵ b是第三象限的角,∴ sinb=-=-,        ………2分

⑴ cos(a-b)=cosa·cosb+sina·sinb          …………3分

=(-)×(-)+×(-)=-          ………………5分

⑵ sin(a+b)=sina·cosb+cosa·sinb          ……………………6分

×(-)+(-)×(-)=           …………………8分

⑶ ∵tana==-             …………………9分

∴tan2a=             ………………10分

=-

 

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