如圖所示，在長(zhǎng)方體，ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1C的中點(diǎn)
（1）求證：EF∥平面AA1D1D；
（2）求證：EF⊥平面A1CD；
（3）求三棱錐B-A1DF的體積．

證明：（1）連接BD1，AD1，
由長(zhǎng)方體的幾何特征，可得F也為BD1的中點(diǎn)
又∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF為△BAD1的中位線
∴EF∥AD1
又∵EF?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D
∴EF∥平面AA1D1D；
（2）連接A1D，∵AD=AA1，
∴四邊形AA1D1D為正方形
∴A1D⊥AD1，
又∵CD⊥AD1，A1D∩CD=D
∴AD1⊥平面A1CD
又∵EF∥AD1
∴EF⊥平面A1CD；
解：（3）∵三棱錐B-A1DF的體積等于三棱錐A1-BDF
三棱錐A1-BDF的體積等于三棱錐A1-BCD減三棱錐F-BCD
∵AB=2AD=2AA1=2，F(xiàn)是A1C的中點(diǎn)
∴S△BCD=1
三棱錐A1-BCD的高h(yuǎn)=1，三棱錐F-BCD的高h(yuǎn)′=
∴三棱錐B-A1DF的體積V=•1（1-）=
分析：（1）連接BD1，AD1，由長(zhǎng)方體的幾何特征，可得F也為BD1的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥AD1，結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥平面AA1D1D；
（2）連接A1D，由正方形的對(duì)角線互相垂直可得A1D⊥AD1，由由長(zhǎng)方體的幾何特征，可得CD⊥AD1，由線面垂直的判定定理可得AD1⊥平面A1CD，結(jié)合（1）中結(jié)論及線面垂直的第二判定定理，可得EF⊥平面A1CD；
（3）根據(jù)等體積法，可得三棱錐B-A1DF的體積等于三棱錐A1-BDF三棱錐A1-BDF的體積等于三棱錐A1-BCD減三棱錐F-BCD，根據(jù)AB=2AD=2AA1=2，F(xiàn)是A1C的中點(diǎn)，求出棱錐的底面積及高，代入棱錐體積公式，可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得EF∥AD1，（2）的關(guān)鍵是證得AD1⊥平面A1CD，（3）的關(guān)鍵是將三棱錐B-A1DF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A1-BCD減三棱錐F-BCD的體積．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1Dl中，AB=5，AD=8，
AA1=4，M為B1C1上一點(diǎn)且B1M=2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1D⊥AN．
（1）求cos＜
A1D
，
AM
＞；
（2）求直線AD與平面ANM所成角的大��；
（3）求平面ANM與平面ABCD所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)
（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱DD1上的一點(diǎn)．
（1）求三棱錐A-MCC1的體積；
（2）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求證：B1M⊥平面MAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；
（2）求BM與平面A1B1M所成的角大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知BC=AA1=1，AB=2，P是A1B1的中點(diǎn)，則直線PB與平面BB1D1D所成角的大小為
arcsin
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10
arcsin
10
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