Question

6．在公比為2的等比數(shù)列{a_n}中，a₂與a₅的等差中項是$9\sqrt{3}$．
（1）求a₁的值；
（2）若函數(shù)$y=|{a_1}|sin（\frac{π}{4}x+φ）（|φ|＜π）$的一部分圖象如圖所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）為圖象上的兩點，設(shè)∠MPN=β，其中P與坐標(biāo)原點O重合，0＜β＜π，求sin（2φ-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用等差中項、等比數(shù)列的定義，求得a₁的值．
（2）由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，△MPN中，再利用余弦定理求得cosβ的值，再利用誘導(dǎo)公式即可求得sin（2φ-β）的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）設(shè)等邊為q，由題可知${a_2}+{a_5}=18\sqrt{3}$，又a₅=8a₂，…（2分）
故${a_2}=2\sqrt{3}$，a₅=16$\sqrt{3}$=a₂q³，
解得：q=2，
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\sqrt{3}$．  …（4分）
（2）∵$y=|{a_1}|sin（\frac{π}{4}x+φ）（|φ|＜π）$，M（-1，|a₁|）為圖象上的點，
∴sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又∵|φ|＜π，
∴φ=$\frac{3π}{4}$，…6分
如圖，連接MN，在△MPN中，由余弦定理可得：$cosβ=\frac{{{{|{PM}|}^2}+{{|{PN}|}^2}-{{|{MN}|}^2}}}{{2|{PM}||{PN}|}}=\frac{4+12-28}{{8\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜β＜π，
∴$β=\frac{5}{6}π$，…（8分）
∴$2φ-β=\frac{3π}{2}-\frac{5π}{6}$，
∴$sin（{2φ-β}）=sin（{\frac{3π}{2}-\frac{5π}{6}}）=-cos\frac{5π}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查等差中項、等比數(shù)列的定義，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了余弦定理、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．