Question

設(shè)S（x）=（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x_n）²，其中x₁，x₂，x₃，…，x_n均為已知常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)x取何值時，S（x）取得極小值；
（Ⅱ）已知當(dāng)n=2時，S（x）≥

1

2

恒成立，且f（x）=a（x-1）+（x²-x）e^x當(dāng)f（|x₁-x₂|）≥0恒成立時，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)公式求出S′（x），求出臨界點和單調(diào)區(qū)間，再求出函數(shù)取極小值時對應(yīng)的x；
（Ⅱ）把n=2代入S（x）≥

1

2

化簡得：當(dāng)|x₁-x₂|≥1時，f（|x₁-x₂|）≥0恒成立，再轉(zhuǎn)化為：即x≥1時，f（x）≥0恒成立，求出f′（x）并構(gòu)造函數(shù)h（x）=f′（x），求h′（x）判斷函數(shù)f′（x）單調(diào)性，求出函數(shù)f′（x）的最小值，再對a進行分類討論，分別求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性和最小值，驗證恒成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵S（x）=（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x_n）²，
∴S′（x）=2[nx-（x₁+x₂+…+x_n），
令S′（x）=0，則x=

1

n

n

i=1

xi，
∴函數(shù)在（-∞，

1

n

n

i=1

xi）上單調(diào)遞減，在（

1

n

n

i=1

xi，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x=

1

n

n

i=1

xi時，S（x）取得極小值；
（Ⅱ）∵當(dāng)n=2時，S（x）≥

1

2

恒成立，
∴S（

x1+x2

2

））=（

x1+x2

2

-x₁）²+（

x1+x2

2

-x₂）²≥

1

2

恒成立，
化簡得（x₁-x₂）²≥1，即|x₁-x₂|≥1，
由f（x）=a（x-1）+（x²-x）e^x得，f（|x₁-x₂|）≥0恒成立，
即x≥1時，f（x）≥0恒成立，
∵f（x）=a（x-1）+（x²-x）e^x，
∴f′（x）=a+（x²+x-1）e^x，
令h（x）=f′（x），則h′（x）=e^x（x²+3x），
∴x≥1時，恒有h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，則h（x）=f′（x）≥f′（1）=a+e，
①當(dāng)a≥-e時，則f′（1）=a+e≥0，即h（x）=f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，則f（x）≥f（1）=0恒成立，符合條件；
②當(dāng)a＜-e時，令h（x₀）=f′（x₀）=0，且x₀＞1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，x₀）上單調(diào)遞減，f（x）≤f（1）=0不符合條件，
綜上得，a的取值范圍是[-e，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值關(guān)系，以及函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的常用方法，要熟練掌握．