Question

等比數(shù)列 {a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），a₁a₃=4，且 a₃+1是 a₂和 a₄的等差中項(xiàng)，若b_n=log₂a_n+1
（1）求數(shù)列 {b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列 {c_n}滿(mǎn)足 c_n=a_n+1．b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，設(shè)出公比為q，由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，這兩個(gè)方程聯(lián)立即可求出首項(xiàng)與公比，通項(xiàng)易求．
（2）確定數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4
因?yàn)閍_n＞0，所以a₂=2
依題意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q
因?yàn)閍₃＞0，所以，q=2
所以數(shù)列{a_n}通項(xiàng)為a_n=2^n-1，
所以b_n=log₂a_n+1=n；
（2））∵c_n=a_n+1．b_n=n•2ⁿ
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和等差、等比中項(xiàng)的概念及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．