Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)，（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底）．

（1）令，，求和；

（2）若函數(shù)在時(shí)取得極小值，試確定的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，試判斷曲線只可能與直線、（，為確定的常數(shù)）中的哪一條相切，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），; （2）;（3）曲線只可能與直線相切.

【解析】

試題分析：（1）.時(shí), ,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則將其求導(dǎo)即可. （2）先將求導(dǎo)可得.求導(dǎo)數(shù)等于0的根.比較兩根的大小.根據(jù)兩根的大小即的取值范圍討論兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),判斷是否為極小值點(diǎn). （3）由（2）可得時(shí).即.先求導(dǎo), 令,再求,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知此值域即為切線斜率的值域.直線的斜率為，直線的斜率為,看兩直線斜率是否在此值域內(nèi)即可.

試題解析：【解析】
（1），

時(shí), .. 4分

（2）

，令，得或，

當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，

是函數(shù)的極小值點(diǎn)； 8分

當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，

此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，

綜上所述，使函數(shù)在時(shí)取得極小值的的取值范圍是 10分

（3）由（Ⅰ）知，且當(dāng)時(shí)，，

因此是的極大值點(diǎn)，，

于是 12分

，

令，

則恒成立，即在是增函數(shù)， 14分

所以當(dāng)時(shí)，，即恒有，

又直線的斜率為，直線的斜率為，

所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線只可能與直線相切 16分.

考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).