Question

6．已知圓C：x²+y²-6x-8y=0和x軸交于原點(diǎn)O和定點(diǎn)A，點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn)，且∠OBA=90°，0B交⊙C于M，AB交⊙C于N，求MN的中點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

分析 利用參數(shù)法，求出M，N的坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可求MN的中點(diǎn)P的軌跡．

解答 解：令y=0，可得x²-6x=0，∴x=0或6，
∴O（0，0），A（6，0）
設(shè)直線OM的方程為y=kx，則AB的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-6）
y=kx，與x²+y²-6x-8y=0聯(lián)立，可得M（$\frac{6+8k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{6k+8{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），
y=-$\frac{1}{k}$（x-6），與x²+y²-6x-8y=0聯(lián)立，可得N（$\frac{6-8k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{8+6k}{1+{k}^{2}}$），
∴MN的中點(diǎn)P（$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4+6k+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$）
設(shè)P（x，y），則x²+（y-4）²=36．
∴MN的中點(diǎn)P的軌跡是以（0，4）為圓心，6為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．