Question

20．如圖，半圓AOB是某市休閑廣場(chǎng)的平面示意圖，半徑OA的長(zhǎng)為10，管理部門(mén)在A，B兩處各安裝好一個(gè)光源，其相應(yīng)的光強(qiáng)度分別為4和9，根據(jù)光學(xué)原理，地面上某處照度y與光強(qiáng)度I成正比，與光源距離x的平方成反比，即y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$（k為比例系數(shù)），經(jīng)測(cè)量，在弧AB的中心C處的照度為130．（C處的照度為A，B兩處光源的照度之和）
（1）求比例系數(shù)k的值；
（2）現(xiàn)在管理部門(mén)計(jì)劃在半圓弧AB上，照度最小處增設(shè)一個(gè)光源P，試問(wèn)新增光源P安裝在什么位置？

Answer 1

分析 （1）半徑為r=10，BC=AC=10$\sqrt{2}$，可得y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$，點(diǎn)C受光源A的照度為$\frac{k×4}{100×2}$，點(diǎn)C受光源B的照度為$\frac{k×9}{100×2}$，可得$\frac{k×4}{100×2}$+$\frac{k×9}{100×2}$=130，解出即可得出．
（2）由（1）可得y=$\frac{2000I}{{x}^{2}}$，設(shè)新增光源P距離AP=x處，可得y=$\frac{2000×4}{{x}^{2}}$+$\frac{2000×9}{400-{x}^{2}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵半徑為r=10，
∴BC=AC=10$\sqrt{2}$
∵y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$，
則點(diǎn)C受光源A的照度為$\frac{k×4}{100×2}$，
點(diǎn)C受光源B的照度為$\frac{k×9}{100×2}$，
∴$\frac{k×4}{100×2}$+$\frac{k×9}{100×2}$=130，
解得k=2000
（2）由（1）可得y=$\frac{2000I}{{x}^{2}}$，
設(shè)新增光源P距離AP=x處，
則y=$\frac{2000×4}{{x}^{2}}$+$\frac{2000×9}{400-{x}^{2}}$，
∴y=5[x²+（400-x²）]$（\frac{4}{{x}^{2}}+\frac{9}{400-{x}^{2}}）$=5$[13+\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}]$≥5•$（13+2\sqrt{\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}×\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}}）$=125，當(dāng)且僅當(dāng)x=4$\sqrt{10}$時(shí)取等號(hào)．
新增光源P安裝在距離點(diǎn)A出4$\sqrt{10}$時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的最值的求解，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．