Question

10．設(shè)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，（1≤x≤2）}\\{x-1，（2＜x≤3）}\end{array}}$對(duì)于實(shí)數(shù)a將g（x）=f（x）-ax在x∈[1，3]中的最大值與最小值的差記作p（a），當(dāng)a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)，求：p（a）的最小值，并求此時(shí)的a的值．

Answer 1

分析 由已知可求出g（x）的解析式，分類討論出函數(shù)在各段上的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值的表達(dá)式，進(jìn)而可得p（a）的表達(dá)式，進(jìn)而可求出p（a）的最小值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，（1≤x≤2）}\\{x-1，（2＜x≤3）}\end{array}}$對(duì)于實(shí)數(shù)a將g（x）=f（x）-ax，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-ax，1≤x≤2}\\{（1-a）x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a，
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，若0≤a≤1，則g（x）在[2，3]上遞增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a，
當(dāng)a＞1時(shí)，則g（x）在[2，3]上遞減，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a≤1，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a

∴$p（a）=\left\{{\begin{array}{l}{1-2a，（a≤0）}\\{1-a，（0＜a≤\frac{1}{2}）}\\{a，（\frac{1}{2}＜a≤1）}\\{2a-1，（a＞1）}\end{array}}\right.$
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)最小值為$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，分段函數(shù)，其中分段函數(shù)分段處理是解答此類問題的常用方法．