Question

（本小題滿分13分）直三棱柱中,,點在上．

（Ⅰ）若是中點,求證:平面;

（Ⅱ）當時,求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（1）若是中點,求證:平面；證明線面平行，只需證明線線平行，而證明線線平行可利用三角形的中位線平行，或平行四邊形的對邊平行，本題由是中點 ，可用三角形的中位線平行，故連接交于點,連接,則,從而可證；（2）求二面角的余弦值，可用向量法，注意到三條直線兩兩垂直，故以為坐標原點，射線分別為的正半軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，即可求出二面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）連接交于點,連接,

因為直三棱柱中側面為矩形,所以

為的中點,又是中點,

于是,且面 , AC1?平面B1CD

所以平面; （6分）

（Ⅱ）由知,即,

又直三棱柱中面,于是以為原點建立空間

直角坐標系如右圖所示,于是,

又,由平面幾何易知,

顯然平面的一個法向量為,

又設平面的一個法向量為,則由

,得,

解得,取,則,設二面角的平面角為,

則,又由圖知 為銳角,

所以其余弦值為． （13分）

考點：線面平行的判定，二面角．