Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），M為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=，b=，
故橢圓方程為．                       
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1，0），
所以k_PQ=1．                    
于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，
消元可得3x²+4mx+2m²﹣2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=﹣，x₁x₂=．    
由題意應(yīng)有，
所以x₁（x₂﹣1）+y₂（y₁﹣1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0．
整理得2×﹣（m﹣1）+m²﹣m=0．
解得m=﹣或m=1．                              
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)，△PQM不存在，故舍去．
當(dāng)m=﹣時(shí)，所求直線l存在，且直線l的方程為y=x﹣．