Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱CC₁上．
（1）當(dāng)C₁F=

1

2

CF時(shí)，求三棱錐F-A₁BC的體積．
（2）當(dāng)點(diǎn)F使得A₁F+BF最小時(shí)，判斷直線(xiàn)AE與A₁F是否垂直，并證明結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等積法，可得三棱錐F-A₁BC的體積VF-A1BC=VA1-FBC，根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）解法1：將側(cè)面BCC₁B₁展開(kāi)到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)F為C₁C的中點(diǎn)．連接EF、AF，綜合勾股定理，線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)，可得結(jié)論．
解法2：將側(cè)面BCC₁B₁展開(kāi)到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)FC平行且等于A₁A的一半，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于G，連接EF，
進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閭?cè)面AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴AC=CC₁=2
∴BC=2
又∵C1F=

1

2

CF∴CF=

4

3

∴VF-A1BC=VA1-FBC=

1

3

×

1

2

×2×

4

3

×

3

2

×2=

4 3

9

-------（5分）
（2）解法1：將側(cè)面BCC₁B₁展開(kāi)到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，
連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)F為C₁C的中點(diǎn)．-----------（7分）
連接EF、AF
在Rt△A₁AB中，AA₁=AB=2得AE=

2

在Rt△AFC中，AC=2，F(xiàn)C=1得AF=

5

在等腰△A₁FB中，A1F=BF=

5

得EF=

3

所以由AE=

2

，AF=

5

，EF=

3

得AE²+EF²=AF²
有勾股定理知AE⊥EF
∴

AE⊥AF AE⊥A1B A1F∩EF=F

?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F-----------------（12分）
解法2（參考給分）：將側(cè)面BCC₁B₁展開(kāi)到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，
連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，
此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)FC平行且等于A₁A的一半，
∴F為C₁C的中點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于G，連接EF，
由FC∥EG且FC=EG知四邊形EGCF為平行四邊形
所以EF∥CG．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中知CG⊥面A₁AB，而EF∥CG，
所以EF⊥面A₁AB．
∴AE⊥EF
∴

AE⊥AF AE⊥A1B A1F∩EF=F

?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積公式，空間線(xiàn)面關(guān)系的判定，（1）的關(guān)鍵是利用等積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)