Question

9．設(shè)F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=6時(shí)，以AB為直徑的圓與y軸相交所得弦長是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由弦長公式求得斜率，再由圓的弦長公式，可得所求值．

解答 解：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線AB：y=k（x-1），
代入拋物線的方程可得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，即有中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
由拋物線的弦長公式可得，|AB|=x₁+x₂+p=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$+1=6，
解得k=$±\sqrt{2}$，
即有r=3，d=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$=2，
再由圓的弦長公式可得，
與y軸相交所得弦長是2$\sqrt{{r}^{2}-gb44lei^{2}}$=2$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要是弦長公式的運(yùn)用，同時(shí)考查圓的弦長公式，屬于中檔題．