【題目】已知函數(shù),,且曲線(xiàn)處有相同的切線(xiàn).

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;

(Ⅱ)求證:上恒成立;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ)2.

【解析】

試題分析:

()函數(shù)有相同的切線(xiàn),則,,據(jù)此計(jì)算可得;

()構(gòu)造函數(shù),令,原問(wèn)題等價(jià)于上恒成立,討論函數(shù)的單調(diào)性可得,即上恒成立.

()構(gòu)造函數(shù),其中,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性有 .構(gòu)造函數(shù),內(nèi)單調(diào)遞減,,據(jù)此討論可得在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2.

試題解析:

,,,

.

,,

,.

,即,

.

Ⅱ)證明:設(shè),

.

,則有.

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

,即上恒成立.

Ⅲ)設(shè),其中

.

,則有.

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

.

,

設(shè),其中,則,

內(nèi)單調(diào)遞減,

,故,而.

結(jié)合函數(shù)的圖象,可知在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),

∴方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2.

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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(2)二面角的余弦值.

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【題目】某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)分別為 (萬(wàn)元),它們與投入資金 (萬(wàn)元)的關(guān)系為:.今將300萬(wàn)資金投入生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于75萬(wàn)元.

(1)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金 (萬(wàn)元),求總利潤(rùn) (萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù);

(2)如何分配投入資金,才能使總利潤(rùn)最大?并求出最大總利潤(rùn).

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【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:

0

0

2

0

0

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;函數(shù)的解析式為= (直接寫(xiě)出結(jié)果即可);

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

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【題目】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一型號(hào)零件.記生產(chǎn)的零件的尺寸為cm),相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門(mén)規(guī)定:若,則該零件為優(yōu)等品;若,則該零件為中等品;其余零件為次品.現(xiàn)分別從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取50件,經(jīng)質(zhì)量檢測(cè)得到下表數(shù)據(jù):

尺寸







甲零件頻數(shù)

2

3

20

20

4

1

乙零件頻數(shù)

3

5

17

13

8

4

)設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為:優(yōu)等品3元,中等品1元,次品虧本1.若將頻率視為概率,試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估算甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望;

)對(duì)于這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件,在排除其它因素影響的情況下,試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)約有多大的把握認(rèn)為零件優(yōu)等與否和所用機(jī)床有關(guān),并說(shuō)明理由.

參考公式:.

參考數(shù)據(jù):


025

015

010

005

0025

0.010


1323

2072

2706

3841

5024

6.635

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