【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的弦為、過(guò)原點(diǎn)的弦為，若，求證：為定值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得.結(jié)合離心率計(jì)算公式有.則橢圓的方程為.

(Ⅱ)對(duì)直線的斜率分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，由弦長(zhǎng)公式可得.聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式有.計(jì)算可得.據(jù)此可得：為定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，原點(diǎn)到直線的距離為，

則有.

由，得.

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求，，

則.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的斜率為，依題意，

則直線的方程為，直線的方程為.

設(shè)，，，，

由得，

則，，

.

由整理得，則.

.

∴.

綜合（1）（2），為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)從袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；

(2)從袋中有放回地取球．

①求恰好取5次停止的概率P2；

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（Ⅱ）求證：在上恒成立；

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（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

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【題目】已知圓的方程為．

（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；

（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

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（2）三次顏色不全相同；

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