Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+1=0，圓C關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱，圓心在第二象限，半徑為2．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)（-4，2）的直線l，圓C的圓心到l的距離為2，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由圓的方程寫出圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳AC關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱，得到圓心在直線上代入得到①，把圓的方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程得到半徑的式子等于2得到②，①②聯(lián)立求出D和E，即可寫出圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0，根據(jù)圓C的圓心到l的距離為2，列出式子求出k即可．

解答： 解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+1=0知圓心C的坐標(biāo)為（-

D

2

，-

E

2

）
∵圓C關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱
∴點(diǎn)（-

D

2

，-

E

2

）在直線x+y+1=0上
即D+E=-2，①且

D2+E2-4

4

=4②
又∵圓心C在第二象限∴D＞0，E＜0
由①②解得D=2，E=-4
∴所求圓C的方程為：x²+y²+2x-4y+1=0
（Ⅱ）圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
設(shè)直線l的方程為y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0．
∵圓C的圓心到l的距離為2，
∴

|-k-2+4k+2|

k2+1

=2，∴k=±

2 5

5

∴所求方程為y-2=±

2 5

5

（x+4）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程的能力，正確運(yùn)用圓心到直線的距離是關(guān)鍵．