Question

17．設(shè)三個數(shù)$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}$，2，$\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}$成等差數(shù)列，其中（x，y）對應(yīng)點的曲線方程是C．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l₁：x-y+m=0與曲線C相交于不同兩點M，N，且滿足∠MON為鈍角，其中O為直角坐標(biāo)原點，求出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列列出方程轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，求解方程即可．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{4}+{\frac{y}{3}^2}=1\end{array}\right.$消去y，通過△＞0，求出m²＜7，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韋達(dá)定理．利用向量的數(shù)量積相遇0，求解m的范圍即可．

解答 解：（1）、依題意：$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=4$（1分）
所以點P（x，y）對應(yīng)的曲線方程C是橢圓                           （2分）
2a=4，∴a=2．                                              （3分）
c=1   14分）
∴$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$（5分）
C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（6分）
（2）、聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{4}+{\frac{y}{3}^2}=1\end{array}\right.$，且m≠0
消去y，得7x²+8mx+4m²-12=0（7分），
△=64m²-28（4m²-12）=336-48m²＞0（8分）
∴m²＜7，且m≠0（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
得${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$（10分）
可計算${y_1}{y_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{7}$（11分）
由∠MON為鈍角，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}＜0$，x₁x₂+y₁y₂＜0，
$\frac{{4{m^2}-12}}{7}+\frac{{3{m^2}-12}}{7}＜0$（12分）
所以${m^2}＜\frac{24}{7}$（13分）
∴m的取值范圍$-\frac{{2\sqrt{42}}}{7}＜m＜\frac{{2\sqrt{42}}}{7}$且m≠0（14分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，向量的綜合應(yīng)用，考查分析問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．