Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）與橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}=0$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率和短軸端點(diǎn)，即可求出橢圓的幾何量，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（2）聯(lián)立方程組，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），構(gòu)造方程組，利用韋達(dá)定理，得到兩根和與兩根積，再根據(jù)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$═x₁x₂+y₁y₂=0，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．可得b=1，c=1，a=$\sqrt{2}$
∴c=1，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，
得到得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴△=8k²+8＞0
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-k²•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+（1+k²）•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+k²=$\frac{{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k=$±\sqrt{2}$．
直線l的方程：y=$±\sqrt{2}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵