精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點。

   （1）求證：PA⊥平面ABCD；    　

   （2）求二面角E―AC―D的大小；

   （3）若F為線段BC的中點，求點D到平面PAF的距離.

解法一：

   （1）證明：∵底面ABCD為正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

    ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.     

同理CD⊥PA，  

∴PA⊥平面ABCD. 

   （2）解：設M為AD中點，連結EM，

又E為PD中點，

可得EM//PA，從而EM⊥底面ABCD.

過M作AC的垂線MN，垂足為N，連結EN

由三垂線定理有EN⊥AC，

∴∠ENM為二面角E―AC―D的平面角.                                  

在中，可求得   

∴.                                          

∴ 二面角E―AC―D的大小為.                               

   （3）解：過 D做AF的垂線DG，垂足為G，

∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAF⊥平面ABCD，

∴DG⊥平面PAF，

∴DG為點D到平面PAF的距離，                                          

由F為BC中點，可得.

又與相似，

可得，

∴.                                       

即點D到平面PAF的距離為.                                           

解法二：

   （1）證明：同解法一.      

   （2）解：建立如圖的空間直角坐標系，

   

則.  

設為平面的一個法向量，

則，.

又

   令則

得m.            

又是平面ACD的一個法向量，    

設二面角E―AC―D的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為.            

   （3）解：∵為中點，

∴

設n為平面PAF的一個法向量，

則n，n．

又，

 

令則.

得n．                                   

又

∴點到平面的距離.   

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案