橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓C上,且PF1F1F2,|PF1|=
4
3
,|PF2|=
14
3
.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心,交橢圓C于A,B兩點,且A、B關(guān)于點M對稱,求直線l的方程.
分析:解:(Ⅰ)由題意可知2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3,|F1F2|=
|PF2|2-|PF1|2
=2
5
,由此可求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)解法一:設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2).設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因為A,B關(guān)于點M對稱.所以
x1+x2
2
=-
18k2+9k
4+9k2
=-2.
解得k=
8
9
,由此可求出直線l的方程.
(Ⅱ)解法二:設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).由題意x1≠x2
x12
9
+
y12
4
=1
,①
x22
9
+
y22
4
=1
,②
由①-②得
(x1-x2)(x1+x2)
9
+
(y1-y2)(y1+y2)
4
=0.
③因為A、B關(guān)于點M對稱,所以x1+x2=-4,y1+y2=2,代入③得直線l的斜率為
8
9
,由此可求出直線l的方程.
解答:解:(Ⅰ)因為點P在橢圓C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中,|F1F2|=
|PF2|2-|PF1|2
=2
5

故橢圓的半焦距c=
5
,
從而b2=a2-c2=4,
所以橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
4
=1.
(Ⅱ)解法一:
設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2).
已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5,
所以圓心M的坐標為(-2,1).
從而可設(shè)直線l的方程為
y=k(x+2)+1,
代入橢圓C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因為A,B關(guān)于點M對稱.
所以
x1+x2
2
=-
18k2+9k
4+9k2
=-2.

解得k=
8
9
,
所以直線l的方程為y=
8
9
(x+2)+1

即8x-9y+25=0.
(經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意)
(Ⅱ)解法二:
已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5,
所以圓心M的坐標為(-2,1).
設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).
由題意x1≠x2
x12
9
+
y12
4
=1
,①
x22
9
+
y22
4
=1
,②
由①-②得
(x1-x2)(x1+x2)
9
+
(y1-y2)(y1+y2)
4
=0.

因為A、B關(guān)于點M對稱,
所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得
y1-y2
x1-x2
=
8
9
,
即直線l的斜率為
8
9
,
所以直線l的方程為y-1=
8
9
(x+2),
即8x-9y+25=0.
(經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意.)
點評:本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系,解題時要認真審題,仔細解題,避免錯誤.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點,直線l與y軸交于點R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直角坐標系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點分別是A1,A2,上、下頂點為B2,B1,點P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點,PO⊥A2B2,直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點,F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點,RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q,求點Q縱坐標的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點P(2,1)作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于點A、B,直線AB與x軸交于點M,與y軸負半軸交于點N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點為F1(-1,0),右焦點為F2(1,0),短軸兩個端點為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標.
(3)當弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時,求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點的坐標分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上.

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同步練習(xí)冊答案